Question

10．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓C的極坐標(biāo)方程為$5{cos^2}θ+9{sin^2}θ=\frac{45}{ρ^2}$，且直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓C的內(nèi)接矩形PMNQ面積的最大值；
（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的值．

Answer 1

分析 （1）將橢圓的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二倍角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得橢圓C的內(nèi)接矩形PMNQ面積的最大值；
（2）將參數(shù)方程代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由韋達(dá)定理即可求得${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即可求得|FA|•|FB|的值．

解答 解：（1）橢圓C化為5ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=45，∴5x²+9y²=45，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形PMNQ中，P的坐標(biāo)為$（{3cosα，\sqrt{5}sinα}）$，
∴${S_{PMNQ}}=|{4×3cosα×\sqrt{5}sinα}|=|{12\sqrt{5}sinαcosα}|=6\sqrt{5}|{sin2α}|≤6\sqrt{5}$．
∴橢圓C的內(nèi)接矩形PMNQ面積最大值為$6\sqrt{5}$．
（2）由橢圓C的方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$，得橢圓C的右焦點(diǎn)F（2，0），由直線l經(jīng)過右焦點(diǎn)F（2，0），得m=2，
易得直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），代入到5x²+9y²=45，整理得，8t²+10t-25=0，
∴${t_1}{t_2}=-\frac{25}{8}$，即$|{FA}|•|{FB}|=\frac{25}{8}$．
|FA|•|FB|的值$\frac{25}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，二倍角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．