Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+1，g（x）=x²+

b

x

-1，（a，b∈R）．
（1）若曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，求b的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)p（x）=f（x）+g（x），在（1）的條件下，證明當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，有

p(x1)+p(x2)

2

＞p（

x1+x2

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，得g'（1）=2，可得b的方程，解出即可；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，則對(duì)?x∈R（1，e），f（x）＞x恒成立，有h（x）_min＞0，求導(dǎo)數(shù)h'（x）=

a-x

x

，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合單調(diào)性可得最小值，從而得a的不等式，解出可得；
（3）易得p（x）=x²+

2

x

+alnx，表示出

p(x1)+p(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，p（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，分別利用不等式可證明

1

2

(x12+x22)＞(

x1+x2

2

)2①，

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，②aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，③由三式可得結(jié)論；

解答： 解：（1）∵g'（x）=2x-

b

x2

，由曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線平行于x軸，
得g'（1）=2-b=0，解得b=2；
（2）令h（x）=f（x）-x=alnx+1-x，則h'（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，
當(dāng)a≥e時(shí)，h'（x）＞0，函數(shù)h（x）在（1，e）上是增函數(shù)，有h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞x；
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，∵函數(shù)h（x）在（1，a）上遞增，在（a，e）上遞減，
對(duì)?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．
當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)h（x）在（1，e）上遞減，對(duì)?x∈（1，e），要使f（x）＞x恒成立，只需h（e）≥0，
而h（e）=a+1-e＜0，不合題意；
綜上得對(duì)?x∈（1，e），f（x）＞x恒成立，a≥e-1．
（3）由p（x）=x²+

2

x

+alnx，
得

p(x1)+p(x2)

2

=

1

2

(x12+x22)+（

1

x1

+

1

x2

）+

a

2

(lnx1+lnx2)
=

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

，
p（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1+x2

2

，
由x12+x22＞2x1x2得2(x12+x22)＞(x1+x2)2⇒

1

2

(x12+x22)＞(

x1+x2

2

)2①，
又(x1+x2)2=(x12+x22)+2x₁x₂＞4x₁x₂，
∴

x1+x2

x1x2

＞

4

x1+x2

，②
∵

x1x2

＜

x1+ x2

2

，∴l(xiāng)n

x1x2

＜ln

x1+x2

2

，
∵a≤0，∴aln

x1x2

≥aln

x1+x2

2

，③
由①、②、③得

1

2

(x12+x22)+

x1+x2

x1x2

+aln

x1x2

＞(

x1+x2

2

)2+

4

x1+x2

+aln

x1x2

，即

p(x1)+p(x2)

2

＞p（

x1+x2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)恒成立、不等式的證明等知識(shí)，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，能力要求較高．