Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且cosA=

1

3

．
（1）求sin2

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若b=2，BC邊上的中線AD=

3

2

求c．

Answer 1

分析：（1）先把sin2

B+C

2

+cos2A等價轉(zhuǎn)化為

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)，進(jìn)一步簡化為

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)，由此能求出結(jié)果．
（2）

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，令|

AB

|=x，|

AD

|2=

1

4

(

AB

+

AC

)2⇒x2+

4

3

x+4=9⇒x=

5

3

或x=-3(舍去)，由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1

2

[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)…（（2分）
=

1

2

(1+cosA)+(2cos2A-1)…（1分）
=

1

2

(1+

1

3

)+(

2

9

-1)=-

1

9

…（2分）
（2）

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，令|

AB

|=x，
|

AD

|2=

1

4

(

AB

+

AC

)2⇒x2+

4

3

x+4=9⇒x=

5

3

或x=-3(舍去)，
∴c=

5

3

…（5分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．