Question

8．如圖，在△ABC中，|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CB}$|=2，∠ACB=75°．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DB}$，求證：$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用三角形的余弦定理，即可求得|$\overrightarrow{AB}$|=1+$\sqrt{3}$；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$，由條件可得$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\sqrt{3}\overrightarrow{CB}}{1+\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$，運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，即可得證．

解答 解：（1）由余弦定理可得|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{CA}$|²+|$\overrightarrow{CB}$|²-2|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos75°
=6+4-2$\sqrt{6}$•2•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=4+2$\sqrt{3}$，
解得|$\overrightarrow{AB}$|=1+$\sqrt{3}$；
（2）證明：$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos75°=$\sqrt{6}$•2•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=3-$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CA}$=$\sqrt{3}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$），
即有$\overrightarrow{CD}$=$\frac{\overrightarrow{CA}+\sqrt{3}\overrightarrow{CB}}{1+\sqrt{3}}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$，
由（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CB}$）=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{CB}$²-$\overrightarrow{CA}$²+（1-$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=4$\sqrt{3}$-6+（1-$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$）=0，
可得$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
即有$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的模的求法，注意運(yùn)用余弦定理，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，注意運(yùn)用向量共線(xiàn)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．