18．過雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C1：（x+4）2+y2=4和圓C2：（x-4）2+y2=1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2-|PN|2的最小值為13．

分析 求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦點(diǎn)為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：圓C1：（x+4）2+y2=4的圓心為（-4，0），半徑為r1=2；
圓C2：（x-4）2+y2=1的圓心為（4，0），半徑為r2=1，
設(shè)雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦點(diǎn)為F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），
連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得
|PM|2-|PN|2=（|PF1|2-r12）-（|PF2|2-r22）
=（|PF1|2-4）-（|PF2|2-1）
═|PF1|2-|PF2|2-3=（|PF1|-|PF2|）（|PF1|+|PF2|）-3
=2a（|PF1|+|PF2|-3=2（|PF1|+|PF2|）-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號，即最小值13．
故答案為：13．

點(diǎn)評 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$，g（x）=ex-2，若g（m）=f（n）成立，則n-m的最小值為（　�。�
A．1-ln2B．ln2C．2$\sqrt{e}$-3D．e2-3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{10}+{y^2}=1$，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（　　）
A．$（{\sqrt{10}，0}），（{-\sqrt{10}，0}）$B．$（{0，\sqrt{10}}），（{0，-\sqrt{10}}）$C．（0，3），（0，-3）D．（3，0），（-3，0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S1=6，S2=4，Sn＞0，且S2n，S 2n-1．S 2n+2成等比數(shù)列，S2n-1．S2n+2，S2n+1成等差數(shù)列，則a2016等于-1009．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1右焦點(diǎn)F的直線1交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是直線x=$\frac{9}{5}$上任意一點(diǎn)，直線MA、MF、MB的斜率分別為k1、k2、k3，則（　�。�
A．k1+k3=k2B．k1+k3=2k2C．k1k3=k2D．k1k3=k${\;}_{2}^{2}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．已知雙曲線C為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），其左右頂點(diǎn)分別為A、B，曲線上一點(diǎn)P，kPA、kPB分別為直線PA、PB的斜率，且kPA•kPB=3，過左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，|MN|的最小值為4，則雙曲線的方程為（　�。�
A．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1B．$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1
C．$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1和$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1D．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1或$\frac{9{x}^{2}}{4}$-$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．以下四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣．
②若命題p：所有冪函數(shù)的圖象不過第四象限，命題q：存在x∈R，使得x-10＞lgx，則命題p且q為真．
③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1．
④若a，b∈[0，1]，則不等式a2+b2≤1成立的概率為$\frac{π}{4}$．
A．1B．2C．3D．4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足：2asin A=（2b-c）sin B+（2c-b）sinC．
（I） 求角A的大小：
（2）若a=2，求△ABC的周長l的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．如圖，在△ABC中，|$\overrightarrow{CA}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{CB}$|=2，∠ACB=75°．
（1）求|$\overrightarrow{AB}$|的值；
（2）若$\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DB}$，求證：$\overrightarrow{CD}$⊥$\overrightarrow{AB}$．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案