在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+an
（n=1，2，3，…），
（1）計算a1，a2，a3，a4；
（2）猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
考點：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想an的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答： 解：（1）∵a1=1，an+1=
an
1+an
，
∴a2=
a1
1+a1
=
1
2
，a3=
a2
1+a2
=
1
3
，a4=
a3
1+a3
=
1
4
．             …3分
（2）由（1）可以猜想an=
1
n
．                                    …4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
ⅰ）當(dāng)n=1時，a1=
1
1
=1，所以當(dāng)n=1時猜想成立．             …5分
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時猜想成立，即ak=
1
k
，
當(dāng)n=k+1時，ak+1=
ak
1+ak
=
1
k
1+
1
k
=
1
k+1

所以當(dāng)n=k+1時猜想也成立．
由�。┖廷ⅲ┛芍�，猜想對任意的n∈N*都成立．                   
所以an=
1
n
．…8分
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是棱CD、CC1的中點，則異面直線A1P與DQ所成的角的大小是（　�。�
A、45°B、60°
C、75°D、90°

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的通項公式為an=
6n-5(n為奇數(shù))
4n(n為偶數(shù))
，求數(shù)列{an}的前n項和．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三個頂點分別為A（-4，2），B（2，4），C（4，0）．
（Ⅰ）求△ABC三邊所在的直線方程；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應(yīng)的變換作用下得到點A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）求曲線C：（x-1）2+y2=1在矩陣M-1所對應(yīng)的變換作用下得到的曲線C′的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知-7，a1，a2，-1四個實數(shù)成等差數(shù)列，-4，b1，b2，b3，-1五個實數(shù)成等比數(shù)列，則
a2-a1
b2
=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax-ex（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）圖象在點（0，f（0））處的切線過點（1，1），求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)1≤a≤1+e時，求證：f（x）≤x．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某公司在統(tǒng)計2012年的經(jīng)營狀況時發(fā)現(xiàn)，若不考慮其他因素，該公司每月獲得的利潤y（萬元）與月份之間滿足函數(shù)關(guān)系式：f（x）=
12x+28(1≤x≤6，x∈N*)
200-14x(6＜x≤12，x∈N*)

（Ⅰ）求該公司5月份獲得的利潤為多少萬元？
（Ⅱ）2012年該公司哪個月的月利潤最大？最大值是多少萬元？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，且
Sn
Tn
=
3n-1
2n+3
，則
a8
b8
=
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案