Question

2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c．已知c=4，C=$\frac{π}{3}$．
（1）若△ABC的面積等于4$\sqrt{3}$，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC，求出ab的值，再結(jié)合余弦定理即可求解a，b；
（2）根據(jù)sinB=2sinA，正弦定理可得b=2a，結(jié)合余弦定理即可求解a，b；利用△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC求解．

解答 解：（1）∵c=4，C=$\frac{π}{3}$．
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=4$\sqrt{3}$
∴ab=16．
由余弦定理：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²=32，
解得：a=b=4．
（2）∵sinB=2sinA，
由正弦定理，可得b=2a，
根據(jù)余弦定理，得cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故得△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理的靈活運(yùn)用和計(jì)算能力，三角形面積的計(jì)算．屬于基礎(chǔ)題．