Question

10．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
（Ⅰ）證明：AB₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，求三棱錐A-A₁BC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，由此能證明AB₁⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）求出AB=AA₁=A₁B=4，從而${S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×4×4×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，三棱錐A-A₁BC的體積${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{C-{A}_{1}AB}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
AB₁?平面A₁ABB₁，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，
∵A₁B∩CB=B，∴AB₁⊥平面A₁BC．
解：（Ⅱ）∵AC=5，BC=3，∠A₁AB=60°，A₁A=AB，CB⊥平面A₁ABB₁，
∴AB=AA₁=A₁B=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{25-9}$=4，
${S}_{△A{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×4×4×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱錐A-A₁BC的體積：
${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{C-{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{3}×BC×{S}_{△{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．