Question

若f（x）滿足x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，f（2）=-2e²．則x＞0時(shí)，f（x）（　　）

• A、有極大值，無(wú)極小值
• B、有極小值，無(wú)極大值
• C、既有極大值，又有極小值
• D、既無(wú)極大值，也無(wú)極小值

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，構(gòu)造函數(shù)F（x），確定函數(shù)f（x）的解析式，求出f′（x）=0的點(diǎn)，從而確定它是極小值點(diǎn)．

解答： 解：∵x²f′（x）-2xf（x）=x³e^x，
設(shè)F（x）=

f(x)

x2

，
∴F′（x）=

x2f′(x)-2xf(x)

x4

=

x3ex

x4

=

ex

x

；
∴x²f′（x）=x³e^x+2xf（x）=x³e^x+2x³F（x），
∴f′（x）=xe^x+2xF（x）；
∴f′（2）=2e²+2×2F（2）=2e²+4×（-

1

2

e²）=0，
∴x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)；
設(shè)g（x）=f′（x）=xe^x+2xF（x），
∴g′（x）=e^x+xe^x+2F（x）+2xF′（x）
=e^x+xe^x+2F（x）+2x•

ex

x

=3e^x+xe^x+2F（x），
∴g′（2）=3e²+2e²+2×（-

1

2

）e²=4e²＞0，
x=2是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；
∴x＞0時(shí)，f（x）有極小值，無(wú)極大值．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，適當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，是難題．