Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，則nS_n的最小值為（　�。�

• A、-47
• B、-48
• C、-49
• D、-50

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知列式求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出前n項(xiàng)和，代入nS_n后利用導(dǎo)數(shù)求最小值．

解答： 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為dd，則S₁₀=10a1+

10×9

2

d=10a1+45d=0，①
SS15=15a1+

15×14

2

d=15a1+105d=25．②
聯(lián)立①②，得a1=-3，d=

2

3

，
∴Sn=-3n+

n(n-1)

2

×

2

3

=

1

3

n2-

10

3

n．
令f（n）=nS_nnSn，則f(n)=

1

3

n3-

10

3

n2，f′(n)=n2-

20

3

n．
令f′（n）=0，得nn=0或n=

20

3

．
當(dāng)n＞

20

3

時(shí)，f′（n）＞0，0＜n＜

20

3

時(shí)，f′（n）＜0，
∴當(dāng)n=

20

3

時(shí)，f（n）取最小值，而nn∈N^*，又ff（6）=-48，ff（7）=-49，
∴當(dāng)nn=7時(shí)，ff（nn）取最小值-49．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是中檔題．