Question

（文）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線上一點(diǎn)，滿足

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)P作與實(shí)軸平行的直線，依次交兩條漸近線于Q，R兩點(diǎn)，當(dāng)

PQ

•

PR

=2時(shí)，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)PPF₁=m，PF₂=n（m＞n），由已知可得

m=2n m-n=2a m2+n2=4c2

，解方程可得a，c之間的關(guān)系，由e=

c

a

可求
（II）由（I）可得，b2=c2-a2=

1

4

a2，雙曲線的方程x²-4y²=a²，漸進(jìn)線方程為y=±

1

2

x，設(shè)P（x，y）則可得Q（2y，y），R（-2y，y），由

PQ

•

PR

=2可求a，b進(jìn)而可求雙曲線方程

解答：解：（I）設(shè)PPF₁=m，PF₂=n（m＞n）
∵

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
∴

m=2n m-n=2a m2+n2=4c2

∴5a²=4c²
∴e=

c

a

=

5

2

（II）由（I）可得，b2=c2-a2=

1

4

a2
∴雙曲線的方程x²-4y²=a²，漸進(jìn)線方程為y=±

1

2

x
設(shè)P（x，y）則可得Q（2y，y），R（-2y，y）
∵

PQ

•

PR

=（2y-x，0）•（-2y-x，0）=x²-4y²=2
∴a²=2，b2=

1

2

∴雙曲線方程為

x2

2

-2y2=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用雙曲線的定義及性質(zhì)求解雙曲線的方程，向量的基本運(yùn)算關(guān)系的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵之一