Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ax

1-x

e^-2x
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=2時有極值，求a的值；
（2）若對任意x∈（0，1）時，f（x）＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在x=2時有極值，可得f′（2）=0，即可求a的值；
（2）對任意x∈（0，1）時，f（x）＞1恒成立，可知a＞

(1-x)e2x-1

x

，證明x∈（0，1）時，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+ax

1-x

e^-2x，
∴f′（x）=

a+1-2(1+ax)(1-x)

(1-x)2

e^-2x，
∵函數(shù)y=f（x）在x=2時有極值，
∴f′（2）=0，
∴5a+3=0，
∴a=-

3

5

；
（2）由對任意x∈（0，1）時，f（x）＞1恒成立，
可知a＞

(1-x)e2x-1

x

，
下面證明x∈（0，1）時，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，
只需證明：（1-x）e^2x＜1+x，
只需證明x∈（0，1）時，g（x）=（x-1）e^2x+（x+1）＞0．
∵g′（x）=e^2x（2x-1）+1＞g′（0）=0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0恒成立，
∴x∈（0，1）時，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，

lim

x→0

(1-x)e2x-1

x

=

lim

x→0

m(x)-m(0)

x-0

（m（x）=（1-x）e^2x）=m′（x）|_x=1=1，
∴

(1-x)e2x-1

x

的最小上界為1，
∴a≥1．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．