Question

1．函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式
（2）若方程f（x）=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有兩個不同的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得f（x）的圖象和直線y=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有兩個不同的交點，再結合正弦函數(shù)的圖象特征，求得a的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$的部分圖象，
可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$，∴ω=1，故有f（x）=2sin（x+φ）．
再根據(jù)五點法作圖可得1•$\frac{2π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）若方程f（x）=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有兩個不同的實根，
則f（x）的圖象和直線y=a在$（{0，\frac{5π}{3}}）$上有兩個不同的交點．
∵x∈（0，$\frac{5π}{3}$），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，2π），
令t=x+$\frac{π}{3}$，則y=sint的圖象和直線y=a在（$\frac{π}{3}$，2π）上有2個交點，
畫出y=sint的圖象，如圖所示，
∴a∈（$\sqrt{3}$，2）∪（-2，0）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值；還考查了正弦函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．