Question

6．已知點C的坐標為（4，0），A，B，是拋物線y²=4x上不同于原點O的相異的兩個動點，且OA⊥OB．
（Ⅰ）求證：點A，B，C共線；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{QB}，（λ∈R）$，當$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$時，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達定理，結合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點（4，0）．
（Ⅱ）當$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$時，建立方程，即可求動點Q的軌跡方程．

解答 （Ⅰ）證明：設直線AB方程為x=my+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}$=-1，b=4．
于是直線AB方程為x=my+4，該直線過定點（4，0），即點A，B，C共線；
（Ⅱ）解：由題意，Q是直角三角形AOB斜邊上的垂足，∠CQO=90°．
設Q（x，y），則$\overrightarrow{OQ}$=（x，y），$\overrightarrow{CQ}$=（x-4，y），
∴x（x-4）+y²=0，即（x-2）²+y²=4（x≠0）．

點評 本題考查軌跡方程，考查A，B，C共線的證明，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．