【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當x≥0時,
f(x)= ,
則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零點之和為( 。
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1
【答案】A
【解析】解:∵當x≥0時,
f(x)=;
即x∈[0,1)時,f(x)=(x+1)∈(﹣1,0];
x∈[1,3]時,f(x)=x﹣2∈[﹣1,1];
x∈(3,+∞)時,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1);
畫出x≥0時f(x)的圖象,
再利用奇函數(shù)的對稱性,畫出x<0時f(x)的圖象,如圖所示;
則直線y=a,與y=f(x)的圖象有5個交點,則方程f(x)﹣a=0共有五個實根,
最左邊兩根之和為﹣6,最右邊兩根之和為6,
∵x∈(﹣1,0)時,﹣x∈(0,1),
∴f(﹣x)=(﹣x+1),
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣(﹣x+1)=(1﹣x)﹣1=log2(1﹣x),
∴中間的一個根滿足log2(1﹣x)=a,即1﹣x=2a ,
解得x=1﹣2a ,
∴所有根的和為1﹣2a .
故選:A.
函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零點轉(zhuǎn)化為:在同一坐標系內(nèi)y=f(x),y=a的圖象交點的橫坐標.
作出兩函數(shù)圖象,考查交點個數(shù),結(jié)合方程思想,及零點的對稱性,根據(jù)奇函數(shù)f(x)在x≥0時的解析式,作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象及其對稱性,求出答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當時函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域為,解不等式.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)增函數(shù)(3)
【解析】試題分析:(1)判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。(2)利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡,判斷,下結(jié)論五個步驟。(3)由(1)(2)奇函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù),
原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義(-1,1)求解得x范圍。
試題解析:(1)函數(shù)為奇函數(shù).證明如下:
定義域為
又
為奇函數(shù)
(2)函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù).證明如下:
任取,則
,
即
故在(-1,1)上為增函數(shù)
(3)由(1)、(2)可得
則
解得:
所以,原不等式的解集為
【點睛】
(1)奇偶性:判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。
(2)單調(diào)性:利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡,定號,下結(jié)論五個步驟。
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù).
(1)若的定義域和值域均是,求實數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對任意的,都有,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,且對任意的,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)點P在△ABC的BC邊所在的直線上從左到右運動,設(shè)△ABP與△ACP的外接圓面積之比為λ,當點P不與B,C重合時,( )
A.λ先變小再變大
B.當M為線段BC中點時,λ最大
C.λ先變大再變小
D.λ是一個定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B,C為直角坐標系xOy中的三個定點
(Ⅰ)若點D為□ABCD的第四個頂點,求||;
(Ⅱ)若點P在直線OC上,且·=4,求點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知單位圓x2+y2=1與x軸正半軸交于點P,當圓上一動點Q從P出發(fā)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到P點后停止運動設(shè)OQ掃過的扇形對應(yīng)的圓心角為xrad,當0<x<2π時,設(shè)圓心O到直線PQ的距離為y,y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)是如圖所示的程序框圖中的①②兩個關(guān)系式
(Ⅰ)寫出程序框圖中①②處的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)若輸出的y值為2,求點Q的坐標.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(t)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時間t(小時)的函數(shù),其中.下表是該港口某一天從0時至24時記錄的時間t與水深y的關(guān)系:
t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 12 | 14.9 | 11.9 | 9 | 12.1 |
經(jīng)長期觀察,函數(shù)y=f(t)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象.⑴求的解析式;⑵設(shè)水深不小于米時,輪船才能進出港口。某輪船在一晝夜內(nèi)要進港口靠岸辦事,然后再出港。問該輪船最多能在港口停靠多長時間?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:
①分類變量A與B的隨機變量K2越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大.
②以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出回歸方程,設(shè)z=lny,將其變換后得到線性方程z=0.3x+4,則c,k的值分別是e4和0.3.
③根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為y=a+bx中,b=1, =1, =3,
則a=1.正確的序號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】當時,函數(shù)的值域是_________.
【答案】[-1,2]
【解析】:f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),
∵﹣≤x≤,
∴﹣≤x+≤,
∴﹣≤sin(x+)≤1,
∴函數(shù)f(x)的值域為[﹣1,2],
故答案為:[﹣1,2].
【題型】填空題
【結(jié)束】
15
【題目】若點O在內(nèi),且滿足,設(shè)為的面積, 為的面積,則=________.
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