Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+3x+sinx，x∈R，若當(dāng)0＜θ＜$\frac{π}{2}$時，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [1，+∞）
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{1}{2}，1}]$

Answer 1

分析 由題意可知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，即可轉(zhuǎn)化為m（1-sinθ）＜1．

解答 解：由題意可知f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立 即可轉(zhuǎn)化為：
f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）
故有：msinθ＞m-1
⇒m（sinθ-1）＞-1
⇒m（1-sinθ）＜1
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$∴sinθ∈（0，1）
∴m＜$\frac{1}{1-sinθ}$
又因為$\frac{1}{1-sinθ}$＞1
∴m≤1
故選：A

點評 本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，以及分離參數(shù)求最值的應(yīng)用，屬中等題．