Question

已知函數(shù)f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

．設 F（x）=f（x+4）．g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則a+b的值為（　　）

• A、-1
• B、0
• C、1
• D、2

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,二項式定理的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：可通過導數(shù)法求得f（x）與g（x）的零點，從而可得f（x+4）和g（x-4）的零點，繼而函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）內，求得a，b的值．

解答： 解：∵f′（x）=1-x+x²+…+x²⁰¹²，
①x=0時，f′（0）=1＞0；
②當x=-1時，f′（-1）=2013＞0；
③當x≠0，-1時，f′（x）=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，無論x＞-1，還是x＜-1，都有f′（x）＞0．
綜上可知：對任意x∈R，都有f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）單調遞增，也就是說，函數(shù)f（x）至多有一個零點．
由函數(shù)零點的判定定理可知：函數(shù)f（x）的零點x₀∈（-1，0）．
由-1＜x+4＜0得：-5＜x＜-4，
∴f（x+4）在[-5，-4]有唯一零點．
又g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

．
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹²
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上單調遞減；
又g（1）＞0，g（2）＜0，
∴g（x）在（1，2）上有唯一零點，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在[5，6]上有唯一零點．
∵F（x）=f（x+4）．g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a-1，a]或[b-1，b]（a＜b，a，b∈Z）內
∴F（x）的零點即為f（x+4）和g（x-4）的零點．
∴a=-4，b=6，
即a+b=2．
故選：D．

點評：本題考查函數(shù)的零點，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及零點存在定理的應用，考查綜合分析與轉化的能力，屬于難題．