Question

【題目】將個編號為、、、的不同小球全部放入個編號為、、、的個不同盒子中.求：

（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？

（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？

（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？

（4）把已知中個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？

Answer 1

【答案】（1）（種）；（2）（種）；（3）（種）；（4）（種）.

【解析】

（1）根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有個小球，利用排列數(shù)可得出結(jié)果；

（2）先將個小球分為組，各組的球數(shù)分別為、、，然后分配給個盒子中的個盒子，利用組合與排列計數(shù)原理可得出結(jié)果；

（3）考查編號為的盒子中放入編號為的小球，列舉出此種情況下其它個球均未放入相應(yīng)編號的盒子里，在此種放法種數(shù)上乘以可得結(jié)果；

（4）空盒編號有種情況，然后將個完全相同的小球放入其它個盒子，沒有空盒，利用隔板法求出結(jié)果，乘以即得所求放法種數(shù).

（1）根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數(shù)為（種）；

（2）先將個小球分為組，各組的球數(shù)分別為、、，然后分配給個盒子中的個盒子，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；

（3）考查編號為的盒子中放入編號為的小球，則其它個球均未放入相應(yīng)編號的盒子，那么編號為、、的盒子中放入的小球編號可以依次為、、或、、，

因此，所求放法種數(shù)為（種）；

（4）按兩步進行，空盒編號有種情況，

然后將個完全相同的小球放入其它個盒子，沒有空盒，

則只需在個完全相同的小球所形成的個空（不包括兩端）中插入塊板，

由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）.