Question

14．已知遞增數(shù)列{a_n}，a₁=2，其前n項和為S_n，且滿足3（S_n+S_n-1）=${a}_{n}^{2}$+2（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足${log}_{2}\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n，求其前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的遞推式，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，結(jié)合條件和等差數(shù)列的定義和通項公式即可得到所求；
（2）求出b_n=（3n-1）•2ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）3（S_n+S_n-1）=${a}_{n}^{2}$+2（n≥2），
可得3（S_n-1+S_n-2）=a_n-1²+2（n≥3）．
兩式相減可得3（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
由遞增數(shù)列{a_n}，a₁=2，
可得a_n-a_n-1=3，（n≥3）．
由3（a₁+a₂+a₁）=a₂²+2，3（a₁+a₂+a₃+a₁+a₂）=a₃²+2，
求得a₂=5，a₃=8，
由等差數(shù)列的通項公式可得a_n=8+3（n-3）=3n-1，
上式對n=1，2也成立，
故數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3n-1；
（2）數(shù)列{b_n}滿足${log}_{2}\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n，
可得b_n=（3n-1）•2ⁿ，
前n項和T_n=2•2+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ，
2T_n=2•2²+5•2³+8•2⁴+…+（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-T_n=4+3（2²+2³+…+2ⁿ）-（3n-1）•2ⁿ⁺¹
=4+3•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）•2ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=（3n-4）•2ⁿ⁺¹+8．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，注意運用構(gòu)造法，以及等差數(shù)列的定義和通項公式，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．