Question

12．如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分別是PC，PA的中點(diǎn)，且PA=AB=2AD．
（I）求證：MN⊥CD；
（Ⅱ）求二面角P-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{MN}$與$\overrightarrow{DC}$，計算$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=0，從而MN⊥DC；
（Ⅱ）設(shè)PA=AB=2AD=2，利用向量法，設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），運(yùn)用向量垂直的條件可得，平面APB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），能求出二面角P-AB-M的余弦值．

解答 解：（I證明：如圖建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
以AD為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)PA=AB=2AD=2，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（1，0，0），
P（0，0，2），M（$\frac{1}{2}$，1，1），N（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
因為$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{1}{2}$）×0+0×2+（-1）×0=0，
所以MN⊥CD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），
C（1，2，0），
∴M（$\frac{1}{2}$，1，1），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
設(shè)平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AM}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+y+z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$可�。�2，0，-1），
∵平面APB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{2×1+0×0+（-1）×0}{1×\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的判定，平面的二面角的余弦值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．