Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）當a=-1時，求f（x）的最大值；
（2）求證：；
（3）對f（x）圖象上的任意不同兩點P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），證明f（x）圖象上存在點P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點的切線與直線P₁P₂平行．

Answer 1

解：（1）當a=-1時，f（x）=-x+lnx，∴，且x∈（0，1）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故當x=1時，f（x）取最大值f（1）=-1．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴l(xiāng)nx≤x-1，取，可得；
以上各式相加得：ln（n+1）＜1+++…+（n∈N⁺）
（3）直線P₁P₂的斜率為；
由（1）知-x+lnx≤-1，當且僅當x=1時取等號，
∴，
同理，由，可得；
故P₁P₂的斜率，
又在x∈（x₁，x₂）上，，
所以f（x）圖象上存在點P₀（x₀，y₀），滿足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）圖象上以P₀為切點的切線與直線P₁P₂平行．
分析：（1）當a=-1時，f（x）=-x+lnx，易求得f′（x），且f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f′（x）＜0時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；故可求得f（x）的最大值．
（2）由（1）知-x+lnx≤-1，∴l(xiāng)nx≤x-1，當取時，可得；把以上各式相加，可得證明．
（3）直線P₁P₂的斜率k由P₁，P₂兩點坐標可表示為；
由（1）知-x+lnx≤-1，當且僅當x=1時取等號；可得+＜-1，整理可得＜，
同理，由，得；所以P₁P₂的斜率，
在x∈（x₁，x₂）上，有，可得結(jié)論．
點評：本題綜合考查了利用導數(shù)研究曲線上過某點的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值問題，也考查了利用函數(shù)證明不等式的問題，是較難的題目．