Question

若函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈D，均有|f（x₂-f（x₁））|≤|x₂-x₁|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”．下列函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”的是（　�。�

A．f（x）=cosx

B．f（x）=x2-x

C．f（x）=（ 1 2 ）x

D．f（x）=3x-2

Answer 1

f（x）=cosx是R上的“平緩函數(shù)，f（x）=x²-x，f（x）=(

1

2

)x，f（x）=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)φ（x）=x-cosx，則φ'（x）=1+sinx≥0，則φ（x）=x-cosx是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則φ（x₁）＜φ（x₂），即x₁-cosx₁＜x₂-cosx₂，
則cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁ ①
又y=x+cosx也是R上的增函數(shù)，則x₁+cosx₁＜x₂+cosx₂，
即cosx₂-cosx₁＞x₁-x₂ ②
由①、②得-（x₂-x₁）＜cosx₂-cosx₁＜x₂-x₁
因此|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|，對(duì)x₁＜x₂的實(shí)數(shù)都成立，
當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，同理有|cosx₂-cosx₁|＜|x₂-x₁|成立
又當(dāng)x₁=x₂時(shí)，等式|cosx₂-cosx₁|=|x₂-x₁|=0，
故對(duì)任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈R，均有|cosx₂-cosx₁|≤|x₂-x₁|
因此 sinx是R上的“平緩函數(shù)；
對(duì)于選項(xiàng)B，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-1）|
取x₁=3，x₂=1，則|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=x²-x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對(duì)于選項(xiàng)C，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|(

1

2

)x1-(

1

2

)x2|
取x₁=-3，x₂=-2，則|f（x₁）-f（x₂）|=4＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=(

1

2

)x不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
對(duì)于選項(xiàng)D，由于|f（x₁）-f（x₂）|=|3（x₁-x₂）|
取x₁=3，x₂=1，則|f（x₁）-f（x₂）|=6＞|x₁-x₂|，
因此，f（x）=3x-2不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”．
故選A．