Question

已知數(shù)列a₁，a₂，…a₃₀，其中a₁，a₂，…a₁₀是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a₁₀，a₁₁，…a₂₀是公差為d的等差數(shù)列；a₂₀，a₂₁，…a₃₀是公差為d²的等差數(shù)列（d≠0）．
（1）若a₂₀=40，求d；
（2）試寫出a₃₀關(guān)于d的關(guān)系式，并求a₃₀的取值范圍；
（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a₃₀，a₃₁，…a₄₀是公差為d³的等差數(shù)列，…，依此類推，把已知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列．試寫出a_10（n+1）關(guān)于d的關(guān)系式，并求當(dāng)公差d＞0時(shí)a_10（n+1）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a₁₀=10及a₂₀=10+10d=40可求公差 d
（2）由已知可得a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0）=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列{a_n}，其中a₁，a₂…a₁₀是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n≥1時(shí)，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列，從而由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d²+d³），
依此類推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)     ，d=1

進(jìn)而可求d＞0時(shí)，a_10（n+1）的取值范圍

解答：解：（1）∵a₁₀=10，a₂₀=10+10d=40
∴d=3．（2分）
（2）a₃₀=a₂₀+10d²=10（1+d+d²）（d≠0），（4分）
=10[(d+

1

2

)2+

3

4

]，（6分）
當(dāng)d∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)，a₃₀∈[7.5，+∞）．（8分）
（3）所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列{a_n}，其中a₁，a₂…a₁₀是首項(xiàng)為1，
公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)n≥1時(shí)，數(shù)列a_10n，a_10n+1，…a_10（n+1）是公差為dⁿ的等差數(shù)列．（10分）
由a₄₀=a₃₀+10d³=10（1+d+d²+d³），
依此類推可得a_10（n+1）=10（1+d+…+dⁿ）=

10× 1-dn+1 1-d ，d≠1 10(n+1)     ，d=1

（12分）
當(dāng)d＞0時(shí)，a_10（n+1）的取值范圍為（10，+∞）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)a_n=a_m+（n-m）d的應(yīng)用，解決本題（3）的關(guān)鍵是要能由已知條件的規(guī)律，利用類別推理．