Question

已知直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，∠A=30°現(xiàn)以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體．
（1）求此旋轉(zhuǎn)體的體積；（2）求旋轉(zhuǎn)體表面積的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中直角三角形ABC的斜邊長(zhǎng)AB=2，∠A=30°，我們可以判斷出以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的形狀是AB邊的高CO為底面半徑的兩個(gè)圓錐組成的組合體，計(jì)算出底面半徑及兩個(gè)圓錐高的和，代入圓錐體積公式，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積；
（2）由（1）中所判斷的幾何體的形狀，我們可得該幾何體的表面積是兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，分別計(jì)算出兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）如圖以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得旋轉(zhuǎn)體是以AB邊的高CO為底面半徑的兩個(gè)圓錐組成的組合體

∵AB=2，∠A=30°
∴CB=sin30°•AB=1，CA=cos30°•AB=

3

，
CO=

AC•CB

AB

=

3

2

故此旋轉(zhuǎn)體的體積V=

1

3

•πr²•h=

1

3

•π•CO²•AB=

π

2

…6分
（2）又∵CB=1，CA=

3

，
故此旋轉(zhuǎn)體的表面積
S=2πr•（l+l′）=2πCO•（AC+BC）=（3+

3

）π…12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的體積和表面積，其中根據(jù)已知判斷出旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的形狀及底面半徑，高，母線長(zhǎng)等關(guān)鍵幾何量，是解答本題的關(guān)鍵．