11.已知奇函數(shù)f(x)=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$是定義域?yàn)镽的減函數(shù).
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.

分析 (Ⅰ)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),定義域包括0,則有f(0)=0,定義域?yàn)镽,f(-1)=-f(1)即可求得a,b的值.
(Ⅱ)將f(t2-2t)+f(2t2-k)0變形為:f(t2-2t)+<-f(2t2-k),因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),-f(2t2-k)=-f(k-2t2),在利用f(x)減函數(shù)解不等式即可.

解答 解:(Ⅰ)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,
即$\frac{b-1}{a+2}=0⇒b=1$;
∴$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{a+{2^{x+1}}}}$;
又∵定義域?yàn)镽,則有f(-1)=-f(1),
可得:$\frac{1-2}{a+4}=-\frac{{1-\frac{1}{2}}}{a+1}⇒a=2$;
經(jīng)檢驗(yàn):f(x)是奇函數(shù),滿足題意.
所以a,b的值分別為1,2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知$f(x)=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$,易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù);
又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)為減函數(shù),f(t2-2t)<f(k-2t2),得:t2-2t>k-2t2
即對一切t∈R有:3t2-2t-k>0,開口向上,
從而判別式$△=4+12k<0⇒k<-\frac{1}{3}$.
所以k的取值范圍是(-∞,-$\frac{1}{3}$).

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)之奇函數(shù)的運(yùn)用能力.屬于中檔題.

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