Question

已知函數(shù)其中n∈N^*，a為常數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)n＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)當(dāng)a＝1時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f(x)≤x－1．

Answer 1

答案：
解析：

標(biāo)準(zhǔn)答案： 　　(Ⅰ)解：由已知得函數(shù)的定義域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0021/f933e3496260f386629c57fbc2814b11/C/Image362.gif" width=64 HEIGHT=26>， 　　當(dāng)時(shí)，，所以． 　　(1)當(dāng)時(shí)，由得，， 　　此時(shí)． 　　當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減； 　　當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增． 　　(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無極值． 　　綜上所述，時(shí)， 　　當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，極小值為． 　　當(dāng)時(shí)，無極值． 　　(Ⅱ)證法一：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1517/0021/f933e3496260f386629c57fbc2814b11/C/Image385.gif" width=34 height=18>，所以． 　　當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 　　令， 　　則()． 　　所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 　　又， 　　因此恒成立， 　　所以成立． 　　當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 　　要證，由于，所以只需證， 　　令， 　　則()， 　　所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又， 　　所以當(dāng)時(shí)，恒有，即命題成立． 　　綜上所述，結(jié)論成立． 　　證法二：當(dāng)時(shí)，． 　　當(dāng)時(shí)，對任意的正整數(shù)，恒有， 　　故只需證明． 　　令，， 　　則， 　　當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增， 　　因此當(dāng)時(shí)，，即成立． 　　故當(dāng)時(shí)，有． 　　即． 　　試題分析：第一問對討論時(shí)要注意一些顯而易見的結(jié)果，當(dāng)時(shí)恒成立，無極值．第二問需要對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷． 　　高考考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

提示：

函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個(gè)系統(tǒng)，在具體運(yùn)用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用．此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性．