(1)當(dāng)a<2時(shí),求F(x)的極小值;
(2)已知P:x∈[0,+∞),Q:F(x)≥0,若P為Q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c=3(x+)2+c.
依題意,解得
∴f(x)=x3+2x2+4.
∴F(x)=f(x)-ax2=x3+2x2+4-ax2=x3+(2-a)x2+4.
則F′(x)=3x2+2(2-a)x=x[3x+2(2-a)].
由F′(x)=0,得x1=0,x2=.
∵a<2,∴x1>x2.
當(dāng)x變化時(shí),F′(x)、F(x)的變化情況如下:
x | (-∞,-) | (,0) | 0 | (0,+∞) | |
F′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
F(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴當(dāng)x=0時(shí),F(x)取得極小值4.
(2)由(1)知F(x)=x3+(2-a)x2+4.
若P:x∈[0,+∞)為Q:F(x)≥0的充分條件,
即F(x)≥0在[0,+∞)恒成立?當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),F(x)min≥0.
①若2-a>0,即a<2時(shí),
由(1)可知F(x)min=F(0)=4>0,符合題意;
②若2-a≤0,即a≥2時(shí),由F′(x)=0求得x1=,x2=0,且x1>x2.
∴當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),F(x)min=F()≥0,
即()3-(a-2)()2+4≥0,解之,得2≤a≤5.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a∈(-∞,5].
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b |
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已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.
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x |
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