Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點A（0，3），設圓C的半徑為1，圓心C（a，b）在直線l：y=2x-4上．
（1）若圓心也在直線y=-x+5上，求圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過點 A作圓C的切線，求切線的方程；
（3）若圓C上存在點M，使|MA|=|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì),圓的標準方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）聯(lián)立直線l與直線y=-x+5，求出方程組的解得到圓心C坐標，可得圓C的方程；
（2）根據(jù)A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（3）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）由

y=2x-4 y=-x+5

…（1分）    得圓心C為（3，2），…（2分）
∵圓C的半徑為，∴圓C的方程為：（x-3）²+（y-2）²=1…（4分）
（2）由題意知切線的斜率一定存在，…（5分）（或者討論）
設所求圓C的切線方程為y=kx+3，即kx-y+3=0…（6分）
∴

|3k-2+3|

k2+1

=1…（7分）∴|3k+1|=

k2+1

∴2k（4k+3）=0
∴k=0或者k=-

3

4

…（8分）
∴所求圓C的切線方程為：y=3或者y=-

3

4

x+3
即y=3或者3x+4y-12=0…（9分）
（3）設M為（x，y），由

x2+(y-3)2

=

x2+y2

…（11分）
整理得直線m：y=

3

2

…（12分）
∴點M應該既在圓C上又在直線m上，即：圓C和直線m有公共點
∴|2a-4-

3

2

|≤1，∴

9

4

≤a≤

13

4

…（13分）
終上所述，a的取值范圍為：[

9

4

，

13

4

]…（14分）

點評：此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．