Question

如圖游泳者站在邊長為100米的正方形游泳池ABCD中A處，希望從A步行到E處（E為邊AB上的點(diǎn)），再從E游到C，已知此人步行的速度為v₁米/秒，游泳的速度為

v1

2

．米/秒．
（1）設(shè)∠BCE=θ，試將此人按上述路線從A到C所需時間t秒表示為θ的函數(shù)．
（2）θ為何值時，此人從A經(jīng)E到C所需時間t最小，其最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）在Rt△CBE中，分別表示出BE，CE，AE的表達(dá)式，進(jìn)而分別根據(jù)步行的速度和游泳的速度分別表示從A到E和從E到C得時間，求得從A到C所需時間t秒表示為θ的函數(shù)．
（2）令y=

2

cosθ

-tanθ，設(shè)出P的坐標(biāo)，進(jìn)而可推斷出

sinθ-2

cosθ

表示P與點(diǎn)A（0，2）連線的斜率，進(jìn)而可知當(dāng)直線與圓相切時，斜率最大，進(jìn)而求得此時θ的值．

解答：解：（1）在Rt△CBE中，BE=100tanθ，CE=

100

COSθ

AE=100-100tanθ
所以T=

100-100tanθ

v1

+

100 cosθ

1 2 v1

．
=

100

v1

+

100

v1

(

2

cosθ

-tanθ)，0≤θ≤

π

4

（2）令y=

2

cosθ

-tanθ，則y=-

sinθ-2

cosθ

設(shè)P（cosθ，sinθ），則P在單位圓第一象限的八分一圓上，

sinθ-2

cosθ

表示P與點(diǎn)A（0，2）連線的斜率，
當(dāng)直線與圓相切時，斜率最大，
此時∠OAP=

π

6

，

sinθ-2

cosθ

的最大值是
-tan60°=-

3

，即最大值時即要θ=

π

6

所以所求的ymin=

100(1+ 3 )

v1

．

點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力以及數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用．