在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中,設(shè)M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中點(diǎn),求證:

(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面;

(2)平面AMN∥平面EFBD.

證明:(1)分別連結(jié)B1D1、ED、FB,由正方體性質(zhì)知B1D1∥BD,

∵E、F分別是D1C1和B1C1的中點(diǎn),

∴EFB1D1,∴EFBD.

∴E、F、B、D共面.

(2)連結(jié)A1C1交MN于點(diǎn)P,交EF于點(diǎn)Q,

連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,分別連結(jié)PA、QO.

∵M(jìn)、N為A1B1、A1D1的中點(diǎn),∴MN∥EF,EF面EFDB.

∴MN∥面EFDB.∵PQAO,

∴四邊形PAOQ為平行四邊形.∴PA∥QO.而QO平面EFBD,∴PA∥平面EFBD且PA∩MN=P,PA、MN面AMN.

∴平面AMN∥平面EFBD.

練習(xí)冊系列答案
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面

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