Question

16．已知拋物線y²=4x，F(xiàn)為拋物線焦點(diǎn)，A、B為拋物線上的兩點(diǎn)，且∠AFB=60°，M為AB中點(diǎn)，過(guò)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)N．求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-3ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-3ab≥（a+b）²-$\frac{3}{4}$（a+b）²=$\frac{1}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{1}{2}$（a+b）．
∴0＜$\frac{|MN|}{|AB|}$≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求$\frac{|MN|}{|AB|}$的取值范圍，著重考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．