Question

3．下列函數(shù)中，滿足“對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0”的是（　　）

• A． f（x）=2lg（x-1）
• B． f（x）=（x+1）²
• C． f（x）=e^-x
• D． f（x）=$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否滿足次條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：“對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0”，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
由于f（x）=2lg（x-1）在（0，1]上無意義，故排除A；
顯然f（x）=（x+1）² 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，故B滿足條件；
由于f（x）=e^-x=${（\frac{1}{e}）}^{x}$、f（x）=$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，故C、D不滿足條件；
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．