Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂則下列命題中正確的有①②④（填上你認為正確的所有序號）
①a＞e
②x₁+x₂＞2 
③x₁x₂＞1 
④有極小值點x₀，且x₁+x₂＜2x₀．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，對四個選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：對于①，∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-a，令f′（x）=e^x-a＞0，
當(dāng)a≤0時，f′（x）=e^x-a＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，∵f′（x）=e^x-a＞0，∴e^x-a＞0，解得x＞lna，
∴f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增．
∵函數(shù)f（x）=e^x-ax有兩個零點x₁＜x₂，
∴f（lna）＜0，a＞0，
∴e^lna-alna＜0，
∴a＞e，所以①正確；
對于②，x₁+x₂=ln（a²x₁x₂）=2lna+ln（x₁x₂）＞2+ln（x₁x₂），
取a=$\frac{{e}^{2}}{2}$，f（2）=e²-2a=0，∴x₂=2，f（0）=1＞0，∴0＜x₁＜1，∴x₁+x₂＞2，所以②正確；
對于③，f（0）=1＞0，∴0＜x₁＜1，x₁x₂＞1不一定，所以③不正確；
對于④f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）單調(diào)遞增，∴有極小值點x₀=lna，且x₁+x₂＜2x₀=2lna，所以④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，研究函數(shù)的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．