已知橢圓W的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
6
3
,兩條準線間的距離為6.橢圓W的左焦點為F,過左準線與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B,點A關于x軸的對稱點為C.
(Ⅰ)求橢圓W的方程;
(Ⅱ)求證:
CF
FB
(λ∈R);
(Ⅲ)求△MBC面積S的最大值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)離心率,準線和a,b和c的關系,聯(lián)立方程求得a,b和c.橢圓的方程可得.
(Ⅱ)根據(jù)準線方程可求得M的坐標.于是可設直線l的方程為y=k(x+3),點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則點C的坐標為(x1,-y1),y1=k(x1+3),y2=k(x2+3).進而根據(jù)橢圓的第二定義得
|FB|
|FC|
,判斷出B,F(xiàn),C三點共線,
(Ⅲ)根據(jù)三角形面積公式求得S的表達式,根據(jù)k的范圍確定S的范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)設橢圓W的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,由題意可知
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
2•
a2
c
=6
解得a=
6
,c=2,b=
2

所以橢圓W的方程為
x2
6
+
y2
2
=1

(Ⅱ)因為左準線方程為x=-
a2
c
=-3
,所以點M坐標為(-3,0).
于是可設直線l的方程為y=k(x+3),點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
則點C的坐標為(x1,-y1),y1=k(x1+3),y2=k(x2+3).
由橢圓的第二定義可得
|FB|
|FC|
=
x2+3
x1+3
=
|y2|
|y1|

所以B,F(xiàn),C三點共線,即
CF
FB

(Ⅲ)由題意知S=
1
2
|MF||y1|+
1
2
|MF||y2|
=
1
2
|MF|•|y1+y2|
=|MF|
1
2
|k(x1+x2)+6k|
;
又由M(-3,0),F(xiàn)(-2,0),則|MF|=1,
則S=
3|k|
1+3k2
=
3
1
|k|
+3|k|
3
2
3
=
3
2

當且僅當k2=
1
3
時“=”成立,
所以△MBC面積S的最大值為
3
2
點評:本題主要考查了橢圓的應用.知識點多,復雜難懂,應熟練掌握橢圓的一些基本性質(zhì).
練習冊系列答案
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已知橢圓w的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長為4,離心率為
6
3
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(1)求橢圓w的方程;
(2)當AB邊通過坐標原點O時,求AB的長及△ABC的面積;
(3)當∠ABC=90°,且斜邊AC的長最大時,求AB所在直線的方程.

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已知橢圓W的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
6
3
,焦距為4,橢圓W的左焦點為F,過點M(-3,0)任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B,點A關于x軸的對稱點為C.
(1)求橢圓W的方程;
(2)
CF
FB
(λ∈R)是否成立?并說明理由;
(3)求△MBC面積S的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•南寧模擬)已知橢圓W的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
6
3
,兩條準線間的距離為6,橢圓的左焦點為F,過左焦點與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B,點A關于x軸的對稱點為C.
(1)求橢圓W的方程;
(2)求證:
CF
FB
(λ∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓W的中心在原點,焦點在X軸上,離心率為
6
3
,橢圓短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成的三角形的面積為2
2
,橢圓W的左焦點為F,過x軸的一點M(-3,0)任作一條斜率不為零的直線L與橢圓W交于不同的兩點A、B,點A關于X軸的對稱點為C.
(1)求橢圓W的方程;
(2)求證:
CF
FB
(λ∈R);
(3)求△MBC面積S的最大值.

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