(2012•南寧模擬)已知橢圓W的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
6
3
,兩條準線間的距離為6,橢圓的左焦點為F,過左焦點與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B,點A關(guān)于x軸的對稱點為C.
(1)求橢圓W的方程;
(2)求證:
CF
FB
(λ∈R)
分析:(1)根據(jù)離心率,準線和a,b和c的關(guān)系,聯(lián)立方程求得a,b和c,即可求得橢圓的方程;
(2)根據(jù)準線方程可求得M的坐標,設(shè)直線l的方程為y=k(x+3),根據(jù)橢圓的第二定義判斷出B,F(xiàn),C三點共線,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:設(shè)橢圓W的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),由題意可知
c
a
=
6
3
,a2=b2+c2,2×
a2
c
=6,解得a=
6
,c=2,b=
2
,所以橢圓W的方程為
x2
6
+
y2
2
=1

(2)證明:因為左準線方程為x=-
a2
c
=-3,所以點M坐標為(-3,0).
于是可設(shè)直線l的方程為y=k(x+3),點A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
則點C的坐標為(x1,-y1),y1=k(x1+3),y2=k(x2+3).
由橢圓的第二定義可得
|FB|
|FC|
=
x2+3
x1+3
=
|y2|
|y1|
,
所以B,F(xiàn),C三點共線,即
CF
FB
(λ∈R)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查橢圓的定義與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運用橢圓的定義與性質(zhì).
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6
4

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