（2012•虹口區(qū)一模）已知橢圓P的焦點坐標(biāo)為
0，±1
，長軸等于焦距的2倍．
（1）求橢圓P的方程；
（2）矩形ABCD的邊AB在y軸上，點C、D落在橢圓P上，求矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積的最大值．
分析：（1）根據(jù)題意易得：a=2c=2，b2=3，由此即可得到橢圓P的方程；
（2）設(shè)D（x，y），可根據(jù)圓柱體側(cè)面積公式得到S側(cè)=4π|xy|．再由點D在橢圓上，代入橢圓再結(jié)合基本不等式可得|xy|≤
3
，從而得到所求側(cè)面積的最大值為4
3
π．
解答：解：（1）由題意，得c=1且2a=2×2c，所以a=2，b2=a2-c2=3
∴橢圓P的方程為
x2
3
+
y2
4
=1…（4分）
（2）矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積為S側(cè)=2π•|BC|•|AB|=4π|xy|…（7分）
設(shè)D
x，y
，由點D在橢圓上，得1=
x2
3
+
y2
4
≥2
x2
3
•
y2
4
=
|xy|
3
，得|xy|≤
3
，
當(dāng)
x2
3
=
y2
4
=
1
2
，即|x|=
6
2
，|y|=
2
時取等號．…（12分）
∴S側(cè)=4π|xy|≤4
3
π，當(dāng)|x|=
6
2
，|y|=
2
時，側(cè)面積的最大值為4
3
π．…（14分）
點評：本題給出矩形一邊在y軸，另兩個頂點在橢圓上，求矩形旋轉(zhuǎn)構(gòu)成圓柱側(cè)面積的最大值，著重考查了橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式和旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知向量
m
=（sinx，1），
n
=（
3
cosx，
1
2
），函數(shù)f(x)=(
m
+
n
)•
m
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若a，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2
3
，c=2
2
，且f（A）是函數(shù)f（x）在（0，
π
2
]上的最大值，求：角A，角C及b邊的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)（x∈R，ω＞0）的最小正周期為π，將y=f（x）圖象向左平移?個單位長度(0＜?＜
π
2
)所得圖象關(guān)于y軸對稱，則?=
π
8
π
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知集合M=
1，2，3，4
，N=
1，3，5，7
，集合P=M∩N，則集合P的子集共有
4
4
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知雙曲線
x2
4
-
y2
12
=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在雙曲線上，且∠F1PF2=90°，則點P到x軸的距離等于
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=loga
1-m(x-1)
x-2
（a＞0，a≠1）．
（1）若m=-1時，判斷函數(shù)f（x）在
2，+∞)
上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若對于定義域內(nèi)一切x，f（1+x）+f（1-x）=0恒成立，求實數(shù)m的值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x∈
b，a
時，f（x）的取值恰為
1，+∞
，求實數(shù)a，b的值．

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