已知，點滿足，記點的軌跡為.
（Ⅰ）求軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過點且與軌跡交于、兩點. （i）設(shè)點，問：是否存在實數(shù)，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.（ii）過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記
，求的取值范圍.
（Ⅰ）
（Ⅰ）由知，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線右支，由，∴，故軌跡E的方程為…………3分
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消得，設(shè)、，
∴，   解得 ……………5分


 
（i）∵

   
……………………7分
假設(shè)存在實數(shù)，使得，
故得對任意的恒成立，
∴，解得   ∴當(dāng)時，.
當(dāng)直線l的斜率不存在時，由及知結(jié)論也成立，
綜上，存在，使得. …………………………………………8分
（ii）∵，∴直線是雙曲線的右準(zhǔn)線，…………………………9分
由雙曲線定義得：，，
方法一：∴
 …………………………………………10分
∵，∴，∴………………………………………11分
注意到直線的斜率不存在時，，綜上， …………………12分


 
   方法二：設(shè)直線的傾斜角為，由于直線

與雙曲線右支有二個交點，∴，過
作，垂足為，則，          
∴ …（10分）
由，得 故： …（12分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

雙曲線中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸，與圓x2＋y2=17交于A（4，－1）．若圓在點A的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求雙曲線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，給定兩點，點滿足   ，其中，且.  （1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)點的軌跡與雙曲線交于兩點，且以為直徑的圓過原點，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實軸長的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分15分）
已知曲線C上的動點滿足到點的距離比到直線的距離小1．
求曲線C的方程；過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點．（ⅰ）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M，證明：；（ⅱ）是否在y軸上存在定點Q，使得無論AB怎樣運動，都有？證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若動點（）在曲線上變化，則的最大值為（   ）
A．B．C．D．2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，


 
且以B、C為焦點，已知

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在過點D（1，1）的直線l，
使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且
如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分16分）本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分.
已知雙曲線設(shè)過點的直線l的方向向量
（1）      當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）      證明：當(dāng)>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）2+y2=1的點的最小距離．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）已知過點F的直線與點M的軌跡交于A，B兩點，且|AF|=8，求|BF|的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，過拋物線C上一點H（x0，y0）作兩條直線與⊙M相切于A、B兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為
17
4
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）當(dāng)∠AHB的角平分線垂直x軸時，求直線EF的斜率．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案