Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）²+y²=1的點(diǎn)的最小距離．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）已知過點(diǎn)F的直線與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|=8，求|BF|的長．

Answer 1

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y），則
∵動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-1的距離等于它到圓F：（x-2）²+y²=1的點(diǎn)的最小距離
∴|x+1|=

(x-2)2+(y-0)2-1

，…（3分）
化簡得：6x-2+2|x+1|=y²，
當(dāng)x≥-1時(shí)，y²=8x；…（5分）
當(dāng)x＜-1時(shí)，y²=4x-4＜-8，不合題意．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為：y²=8x．…（7分）
（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2．
過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AM，垂足為M，AM交y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為H．
過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線BN，垂足為N，
由拋物線的定義知：AF=AM=8．
因?yàn)镸E=OF=2，所以AE=6，F(xiàn)H=4．
在Rt△AHF中，AF=8，F(xiàn)H=4，所以∠AFH=60°．…（10分）
直線AB的方程為y=

3

（x-2）代入y²=8x，可得
3x²-20x+12=0
∴x=6，或x=

2

3

∴A（6，4

3

），B（

2

3

，-

4 3

3

）．
∴BF=BN=

2

3

+2=

8

3

．…（14分）