Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

2

2

，右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

6 - 3

3

，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點，過原點O作直線AB的垂線，垂足為D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由點到直線的距離公式可得

|bc-ab|

a2+b2

=

6 - 3

3

．與e=

c

a

=

2

2

及a²=b²+c²聯(lián)立解出即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由OA⊥OB?

OA

•

OB

=0?x₁x₂+y₁y₂=0?x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得k與m關(guān)系式，再由OD⊥AB得到斜率之間的一個關(guān)系式，及點D在直線AB上，又得到一個關(guān)系式，把上述三個關(guān)系式聯(lián)立消去k，m即可得到點D的軌跡方程，再得到AB⊥x 軸的點D的坐標，綜合起來即可．

解答：解：（1）右焦點為F（c，0）到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

6 - 3

3

，∴

|bc-ab|

a2+b2

=

6 - 3

3

．
又e=

2

2

，聯(lián)立得

|bc-ab| a2+b2 = 6 - 3 3 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a= 2 b=c=1

．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y）．
當直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=2

消去y得到（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0，得1+2k²＞m²．（*）
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

．（**）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
化為(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
把（**）代入上式得

(1+k2)(2m2-2)

1+2k2

-

4k2m2

1+2k2

+m2=0，
化為3m²=2（1+k²）．①
∵OD⊥AB，∴k•

y

x

=-1，得到k=-

x

y

．②
∵點D在直線AB上，∴y=kx+m，∴m=y-kx．③
聯(lián)立①②③消去k，m．得到x2+y2=

2

3

(y≠0)．
當直線AB的斜率不存在時，可得D(±

6

3

，0)，也適合上述方程．
綜上可知：點D的軌跡方程為x2+y2=

2

3

．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、垂直與數(shù)量積的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．