Question

已知圓C的方程x²+y²-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．
（1）證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a，圓C必過(guò)定點(diǎn)；
（2）求圓心C的軌跡方程；
（3）對(duì)a∈R，求面積最小的圓C的方程．

Answer 1

分析：（1） 分離參數(shù)a，化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，此圓經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)就是x²+y²+2y-4=0和（-2x-4y+4）=0的
交點(diǎn)，解方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（x，y），由圓的方程可得

x=a y=2a-1

，消去a，即可得到圓心C的軌跡方程．
（3）面積最小的圓就是以AB為一條直徑的圓，線段AB 的中點(diǎn)是圓心，線段AB 是直徑．

解答：（1）證明：分離參數(shù)a，化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
又

x2+y2+2y-4=0 -2x-4y+4=0

，得

x=2 y=0

或

x=- 2 5 y= 6 5 .

，∴對(duì)任何實(shí)數(shù)a，圓C必過(guò)點(diǎn)A（2，0）、B(-

2

5

，

6

5

)．
（2）解：∵D²+E²-4F=4（5a²-8a+5）＞0恒成立，設(shè)C的坐標(biāo)為（x，y），
則圓心C的方程為

x=a y=2a-1

，消去a，得 2x-y-1=0，∴圓心C的軌跡方程為 2x-y-1=0．
（3）解：面積最小的圓就是以AB為一條直徑的圓，方程是(x-

4

5

)2+(y-

3

5

)2=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)的軌跡方程的求法，以及經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的面積最小的圓方程的求法．