Question

16．由8個(gè)面圍成的幾何體，每個(gè)面都是正三角形，并且有四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在同一平面上，ABCD是邊長(zhǎng)為15的正方形，則該幾何體的外接球的體積為（　　）

• A． 1125$\sqrt{2}$π
• B． 3375$\sqrt{2}$π
• C． 450π
• D． 900π

Answer 1

分析 該幾何體是一個(gè)正八面體，假設(shè)另兩個(gè)頂點(diǎn)為E，F(xiàn)，ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為15，從而求出該幾何體的外接球的半徑R=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，由此能求出該幾何體的外接球的體積．

解答 解：該幾何體的直觀圖如圖所示，
這個(gè)是一個(gè)正八面體，假設(shè)另兩個(gè)頂點(diǎn)為E，F(xiàn)，
ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為15，
∴BO=$\frac{1}{2}\sqrt{1{5}^{2}+1{5}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，EO=$\sqrt{1{5}^{2}-（\frac{15\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴該幾何體的外接球的半徑R=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$，
∴該幾何體的外接球的體積：
V=$\frac{4}{3}π×（\frac{15\sqrt{2}}{2}）^{3}$=1125$\sqrt{2}π$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球隊(duì)的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．