Question

8．已知圓心在直線x+y-1=0上且過點A（2，2）的圓C₁與直線3x-4y+5=0相切，其半徑小于5．
（1）若C₂圓與圓C₁關(guān)于直線x-y=0對稱，求圓C₂的方程；
（2）過直線y=2x-6上一點P作圓C₂的切線PC，PD，切點為C，D，當四邊形PCC₂D面積最小時，求直線CD的方程．

Answer 1

分析 （1）利用過點A（2，2）的圓C₁與直線3x-4y+5=0相切，$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-a-2）^{2}}$=$\frac{|3a-4（1-a）+5|}{5}$，求出圓心與半徑，可得圓C₁的方程，利用C₂圓與圓C₁關(guān)于直線x-y=0對稱，即可求圓C₂的方程；
（2）求出四邊形PCC₂D面積最小值，可得以PC₂為直徑的圓的方程，即可求直線CD的方程．

解答 解：（1）由題意，設(shè)C₁（a，1-a），則
∵過點A（2，2）的圓C₁與直線3x-4y+5=0相切，
∴$\sqrt{（a-2）^{2}+（1-a-2）^{2}}$=$\frac{|3a-4（1-a）+5|}{5}$，
∴（a-2）（a-62）=0
∵半徑小于5，
∴a=2，此時圓C₁的方程為（x-2）²+（y+1）²=9，
∵C₂圓與圓C₁關(guān)于直線x-y=0對稱，
∴圓C₂的方程為（x+1）²+（y-2）²=9；
（2）設(shè)P（a，2a-6），圓C₂的半徑r=2，
∴四邊形PCC₂D面積S=2${S}_{△P{C}_{2}D}$=$2•\frac{1}{2}•|PD|•3$=3|PD|，
|PD|=$\sqrt{（a+1）^{2}+（2a-8）^{2}-9}$=$\sqrt{5（a-3）^{2}+11}$，
∴a=3時，|PD|_min=$\sqrt{11}$，此時面積最小為3$\sqrt{11}$，P（3，0）．
∵C，D在以PC₂為直徑的圓上，
∴方程為（x-1）²+（y-1）²=5，
∵圓C₂的方程為（x+1）²+（y-2）²=9，
∴兩個方程相減，可得CD的方程為4x-2y-1=0．

點評 本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．