Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，若關(guān)于x的方程[f（x）]³-a|f（x）|+2=0有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，3）
• C． （-1，3）
• D． （3，∞）

Answer 1

分析 首先確定函數(shù)f（x）的值域，再換元分離出參數(shù)a，最后結(jié)合函數(shù)圖象得出結(jié)果．

解答 解：先求函數(shù)y=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$的值域，
分離2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，解得y∈（-1，1），
即f（x）的值域為（-1，1），且在R上單調(diào)遞增，
令t=f（x）∈（-1，1），
原方程[f（x）]³-a|f（x）|+2=0分離參數(shù)a得，
a=g（t）=$\frac{t^3+2}{|t|}$=$\left\{\begin{array}{l}{t^2+\frac{2}{t}，t∈（0，1）}\\{-t^2-\frac{2}{t}，t∈（-1，0）}\end{array}\right.$，如右圖（實線），
所以，要使原方程有兩個實數(shù)根，
則直線y=a與函數(shù)g（t）=$\frac{t^3+2}{|t|}$的圖象有兩個交點，
由圖可知，a∈（3，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查了方程根個數(shù)的確定，涉及函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，運用了換元法，數(shù)形結(jié)合等解題思想，屬于中檔題．