Question

已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求證:⊥;

(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo),并求矩形ABCD兩對(duì)角線所夾的銳角的余弦值.

Answer 1

(1)證明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3).

又∵·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥.

(2)解:∵⊥,四邊形ABCD為矩形,

∴=.

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

則(1,1)=(x+1,y-4).

∴

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5).

由于=(-2,4),=(-4,2).

∴·=8+8=16,

||=,||=.

設(shè)與的夾角為θ,

則cosθ=＞0,

∴與夾角的余弦值為.

∴求得矩形兩條對(duì)角線所成的角的余弦值為.

點(diǎn)評(píng):要證明⊥,只需證·=0.在⊥的前提下,只要找點(diǎn)C使=,則C即為所求對(duì)角線所成的銳角,應(yīng)求出向量與的夾角,則這個(gè)角或其補(bǔ)角(取銳角)為所求.