Question

已知圓M：x²+（y-4）²=1，直線l：2x-y=0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（Ⅰ）若∠APB=60°，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），過P作直線與圓M交于C、D兩點(diǎn)，當(dāng)|CD|=

2

時(shí)，求直線CD的方程；
（Ⅲ）求證：經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓與圓M的公共弦必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）由條件可知|PM|=2，建立方程，可求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）由條件可知圓心到直線CD的距離d=

2

2

，設(shè)直線CD的方程，可得結(jié)論；
（Ⅲ）經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓與圓M相減，可得公共弦，即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知|PM|=2，設(shè)P（a，2a），則|PM|=

a2+(2a-4)2

=2
解得a=2或a=1.2，所以P（2，4）或P（1.2，2.4）…（4分）
（Ⅱ）由條件可知圓心到直線CD的距離d=

2

2

，設(shè)直線CD的方程為y-2=k（x-1），
則

|k+2|

k2+1

=

2

2

，解得k=-7或k=-1；
所以直線CD的方程為x+y-3=0或7x+y-9=0…（8分）
（III）設(shè)P（a，2a），過A，P，M三點(diǎn)的圓即以PM為直徑的圓，其方程為x（x-a）+（y-4）（y-2a）=0
與x²+（y-4）²=1相減可得（4-2a）y-ax+8a-15=0
即（-x-2y+8）a+4y-15=0
由

4y-15=0 -x-2y+8=0

，可得

x= 1 2 y= 15 4

∴經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓與圓M的公共弦必過定點(diǎn)（

1

2

，

15

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查兩圓的公共弦，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．