Question

15．已知中心在原點O，左焦點為F₁（-1，0）的橢圓C的左頂點為A，上頂點為B，F(xiàn)₁到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{7}}{7}$b．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C₁方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），橢圓C₂方程為：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=3，若直線y=kx+b與兩橢圓C₂、C交于四點（依次為P、Q、R、S），且$\overrightarrow{PS}$+$\overrightarrow{RS}$=2$\overrightarrow{QS}$，原點到點E（k，b）的距離為$\frac{3}{2}$，求直線PS的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知條件推導(dǎo)出F₁（-1，0），a²+b²=7（a-1）²，b²=a²-1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)Q，R，P，S各點坐標依次為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），（x₄，y₄），將y=kx+b代入橢圓C方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，將y=kx+b代入橢圓C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0，由x₁+x₂=x₃+x₄，可得線段PS、QR中點相同，所以|PQ|=|RS|，由$\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{RS}=2\overrightarrow{QS}$⇒$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}$，所以|PS|=3|RQ|，可得：|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式結(jié)合已知條件能求出k，b．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C₁方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∴直線AB方程為：$\frac{x}{-a}+\frac{y}=1$…（1分）
∴F₁（-1，0）到直線AB距離為$d=\frac{|b-ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{7}b$⇒a²+b²=7（a-1）²…（2分）
又b²=a²-1，解得：a=2，$b=\sqrt{3}$…（4分）
故橢圓C方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（5分）
（2）橢圓C₂的方程為：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$…（6分）
設(shè)Q、R、P、S各點坐標依次為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）、（x₄，y₄）
將y=kx+b代入橢圓C方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0
∴${△_1}={（8kb）^2}-4（3+4{k^2}）（4{b^2}-12）=48（4{k^2}+3-{b^2}）＞0$（*）…（7分）
此時：${x_1}+{x_2}=-\frac{8kb}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{b^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$$⇒|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{4\sqrt{3（4{k^2}+3-{b^2}）}}}{{3+4{k^2}}}$…（8分）
將y=kx+b代入橢圓C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0
∴${x_3}+{x_4}=-\frac{8kb}{{3+4{k^2}}}$，${x_3}{x_4}=\frac{{4{b^2}-36}}{{3+4{k^2}}}$$⇒|{x_3}-{x_4}|=\frac{{4\sqrt{3（12{k^2}+9-{b^2}）}}}{{3+4{k^2}}}$…（9分）
∴x₁+x₂=x₃+x₄，可得線段PS、QR中點相同，所以|PQ|=|RS|…（10分）
由$\overrightarrow{PS}+\overrightarrow{RS}=2\overrightarrow{QS}$⇒$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QR}$，所以|PS|=3|RQ|，可得：|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|
∴$\frac{4\sqrt{3（12{k}^{2}+9-^{2}）}}{3+4{k}^{2}}=3×\frac{4\sqrt{3（4{k}^{2}+3-^{2}）}}{3+4{k}^{2}}$⇒12k²+9=4b²（滿足（*）式）．…（11分）
又∵k²+b²=$\frac{9}{4}$，聯(lián)立上式得：k=0，b=±$\frac{3}{2}$
故直線PS的方程為$y=±\frac{3}{2}$…（12分）

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是結(jié)合圖形把已知轉(zhuǎn)化為可用韋達定理、弦長公式，屬于難題．