Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=5，a_n+1=2a_n+1．
（1）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，試比較2T_n與23n²-13n的大小．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知等式變形可得

an+1+1

an+1

=2，結合首項a₁=5，得列{a_n+1}是以6為首項，公比等于2的等比數(shù)列．
（2）由等比數(shù)列的通項公式和錯位相減法求和，結合等差數(shù)列的求和公式，算出T_n=3（n-1）2ⁿ⁺¹-

1

2

（n²+n-12），將此代入2T_n，再與23n²-13n作差因式分解，最后再對n進行討論，不難得出2T_n與23n²-13n的大�。�

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1），
又∵a₁=5，得a₁+1=6≠0
∴

an+1+1

an+1

=2，即數(shù)列{a_n+1}是以6為首項，公比等于2的等比數(shù)列．…（5分）
（2）由（Ⅰ）知a_n+1=6×2^n-1=3×2ⁿ，所以a_n=3×2ⁿ-1…（7分）
從而T_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+3（3×2³-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n）
令P_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，得2P_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
相減得，P_n=n×2ⁿ⁺¹-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-2=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=3[（n-1）2ⁿ⁺¹+2]-

1

2

（n²+n）=3（n-1）2ⁿ⁺¹-

1

2

（n²+n-12）…（9分）
所以2T_n-（23n²-13n）=12（n-1）2ⁿ-12（2n²-n-1）=12（n-1）（2ⁿ-2n-1）…①
當n=1時，①式等于0，所以2T_n=23n²-13n；
當n=2時，①式等于-12＜0，所以2T_n＜23n²-13n
當n≥3時，n-1＞0且2ⁿ＞2n+1，所以，①式符號為正，從而2T_n＞23n²-13n．…（13分）

點評：本題給出數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項并且比較兩個式子的大小，著重考查等比數(shù)列、錯位相減法，考查靈活運用知識解決問題的能力，屬于中檔題．