【題目】已知空間9點集，其中任意四點不共面.在這9個點間聯(lián)結(jié)若干條線段，構(gòu)成一個圖G，使圖中不存在四面體.問圖G中最多有多少個三角形？

【答案】27

【解析】

在一個n個點的空間圖中不存在三角形，則其邊數(shù)不超過.

證明:設(shè)這n個點為，其中從引出的邊數(shù)最多，不妨設(shè)共有k條:.依條件，不存在三角形，那么，點之間沒有邊相連.從而，空間圖中每條邊均至少有一個端點為中的點而每個至多引出k條邊.因此，總邊數(shù)小于或等于k

下面證明空間9點集M中，若任意4點不共面，在這9點間聯(lián)結(jié)若干條線段，如果圖G中已有（至少）28個三角形，則至少有一個四面體.

用反證法.

假設(shè)不存在一個四面體，在9點集中，由抽屜原理知，其中必有一點為至少個三角形的頂點.從而，由這個點至少引出5條邊，設(shè)這個點為

(1).若從點引出5條邊，依題意，由于沒有四面體，那么，由這5個點構(gòu)成的子圖中沒有三角形.由前面的結(jié)論知，這個子圖中至多有條邊.從而.以為頂點的三角形至多有6個，矛盾.

（2）若從點引出6條邊，類似(1)，至多有個三角形以為頂點,矛盾.

（3）若從點引出7條邊，由于沒有四面體，可知這7個點構(gòu)成的子圖中沒有三角形,這個子圖至多有條邊.從而，以為頂點的三角形至多有12個，不以為頂點的三角形必以點為一個頂點.類似地也至多有12個三角形，那么，三角形總數(shù)小于或等于12×2-24<28，矛盾.

（4）若從點引出8條邊，這時,，A這8個點構(gòu)成的子圖中沒有三角形.由前面的結(jié)論知，至多有條邊.從而，原圖G中至多有16個三角形,矛盾.

于是，滿足要求的三角形至多有27個.

將9點集M分成三組，，，使同組中任兩點不連線，而不同組中的兩點均連線，這樣有個三角形,當(dāng)然沒有四面體.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】2018年1月31日晚上月全食的過程分為初虧、食既、食甚、生光、復(fù)圓五個階段，月食的初虧發(fā)生在19時48分，20時51分食既，食甚時刻為21時31分，22時08分生光，直至23時12分復(fù)圓全食伴隨有藍月亮和紅月亮，全食階段的“紅月亮”將在食甚時刻開始，生光時刻結(jié)束，一市民準(zhǔn)備在19：55至21：56之間的某個時刻欣賞月全食，則他等待“紅月亮”的時間不超過30分鐘的概率是　　

A. B. C. D.

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【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：

(1)y1y2＝－p2，；(2)為定值；

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.

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【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若在上至少存在一個，滿足，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線關(guān)于對稱．

(1)求極坐標(biāo)方程，直角坐標(biāo)方程；

(2)將向左平移4個單位長度，按照變換得到與兩坐標(biāo)軸交于兩點，為上任一點，求的面積的最大值.

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【題目】設(shè)集合，選擇的兩個非空子集與，要使中最小數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同選擇方法有（ ）

A.50種B.49種C.48種D.40種

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【題目】某電視臺舉行一個比賽類型的娛樂節(jié)目，兩隊各有六名選手參賽，將他們首輪的比賽成績作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示，為了增加節(jié)目的趣味性，主持人故意將隊第六位選手的成績沒有給出，并且告知大家隊的平均分比隊的平均分多4分，同時規(guī)定如果某位選手的成績不少于21分，則獲得“晉級”．

（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，求出隊第六位選手的成績；

（2）主持人從隊所有選手成績中隨機抽2個，求至少有一個為“晉級”的概率；

（3）主持人從兩隊所有選手成績分別隨機抽取2個，記抽取到“晉級”選手的總?cè)藬?shù)為，求的分布列．

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【題目】如圖，四面體ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中點，E是BD的中點．

（1）證明：DO⊥底面ABC；

（2）求二面角D-AE-C的余弦值．

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【題目】下列說法錯誤的是（ ）

A.在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量平均增加個單位.

B.對分類變量X與Y，隨機變量的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小.

C.兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1.

D.回歸直線過樣本點的中心.

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