Question

如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=2，AB丄AD，AD丄平面ABD．M為線段BD的中點，MC∥AE，AE=MC=
（I）求證：平面BCE丄平面CDE；
（II）若N為線段DE的中點，求證：平面AMN∥平面BEC．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用面面垂直的判定定理在平面BCE內(nèi)找一條直線與平面CDE垂直即可證明；
（II）通過BD中點M，ED的中點N，利用三角形的中位線定理及面面平行的判定定理即可證明．
解答：解：（I）∵AB=AD=2，AB丄AD，M為線段BD的中點，
∴AM=BD，AM⊥BD．
∵AE=MC=，∴AE=MC=BD=，∴BC⊥CD，
∵AE丄平面ABD，MC∥AE，
∴MC⊥平面ABD，∴平面CBD⊥平面ABD，∴AM⊥平面CDB．
又MC∥AE，AE=MC=，∴四邊形AMCE是平行四邊形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CDB．∴BC⊥EC，∵EC∩CD=C
又∵BC⊥平面CDE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（II）∵BD中點M，ED的中點N，∴MN∥BE，
又∵MN?平面BCE，BE?平面BCE，
∴MN∥平面BEC
由（I）知EC∥AM，又∵AM?平面BCE，EC?平面BCE，
∴AM∥平面BEC，且AM∩MN=M．
∴平面AMN∥平面BEC．
點評：本題主要考查平面圖形中的線線關(guān)系，線面平行和線面垂直的判定寶理．熟練掌握線面、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．