Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）過點Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知過點（2，0）的直線l與該橢圓相交于A、B兩點，當(dāng)|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$時，求直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得a²=2b²，將Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程，即可求得a和b的值，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l的斜率k≠0，設(shè)直線方程為：y=k（x-2），代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式求得丨AB丨，由|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，即可求得k的值，求得直線方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，整理得：a²=2b²，
將Q（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入橢圓方程：$\frac{1}{{2b}^{2}}+\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}=1$，
解得：b=1，a=$\sqrt{2}$，
故橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為0時，不存在符合題意的直線，
當(dāng)直線l的斜率k≠0，設(shè)直線方程為：y=k（x-2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8-16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$，
|AB|=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{8-16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，解得：k²=$\frac{1}{4}$，
∴直線方程為：x-2y-2=0和x+2y-2=0．

點評 本題考查橢圓的方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及弦長公式的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．